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GNSS - Globale Navigations-satellitensysteme

Inhaltsverzeichnis

2. Grundlagen der Satellitennavigation

Weltweit sind mehrere satellitengestützte Navigationsysteme in Betrieb oder im Aufbau (GLONASS, GALILEO). Da das Prinzip der Satellitennavigation bei fast allen Systemen gleich ist, soll es hier am Beispiel des GPS aufgezeigt werden.

2.1. Prinzip der Satellitennavigation: Entfernungsmessung

Das Grundprinzip der Satellitennavigation ist bei allen Systemen gleich: Satelliten senden in genauen Intervallen ein exaktes Zeitsignal und die jeweiligen Bahndaten (Ephemeriden) aus. Dieses Zeitsignal kommt aus hochstabilen, miteinander synchronisierten Atomuhren in den Satelliten. Im Empfänger befindet sich eine mit den Atomuhren synchron laufende Uhr. Aus den Bahndaten kann der Empfänger die Position der Satelliten berechnen. Aus den Laufzeiten der Satellitensignale kann er dann die Entfernung zu den Satelliten berechnen. Um seine geografische Position auf der Erde (Längengrad und Breitengrad) benötigt der Empfänger das Signal von drei Satelliten. Soll auch noch die Höhenposition bestimmt werden, werden vier Satellitensignale benötigt.
Das Prinzip der Entfernungsmessung über die Laufzeit ist im Abschnitt "Funknavigation" bereits vorgestellt worden. In Abb. 2.01 soll das Verfahren noch etwas detaillierter dargestellt werden: Wir haben eine Atomuhr, die einen Zeitmarkensender ansteuert. Der Zeitmarkensender sendet z.B. alle Sekunde ein Datenpaket aus, dass die genaue Uhrzeit enthält. Das Datenpaket breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit (c = 300.000 km/s) aus.

Abb. 2.01: Entfernungsmessung durch Messen der Laufzeit
Abb. 2.01: Entfernungsmessung durch Messen der Laufzeit

In unseren Auto befindet sich ein Empfänger mit einer zur Atomuhr synchron laufenden Uhr. Das Datenpaket benötigt die Zeit (Δt) um vom Sendemast bis zum Empfänger zu gelangen. Der Empfänger vergleicht nun die Zeitangabe im Datenpaket mit der aktuellen Zeit seiner eigenen Uhr. Die Differenz zwischen beiden Zeitangaben bildet die Laufzeit (Δt). Multipliziert man die Laufzeit des Signales mit der Lichtgeschwindigkeit erhält man die Entfernung (r).

r = Δt * c

Formel 1: Berechnung einer Entfernung aus der Laufzeit

In der Wirklichkeit ist allerdings die mobile Uhr im Auto eine quarzgesteuerte Uhr, die bei Weitem nicht so genau ist wie die Atomuhr. Schon eine kleiner Uhrenfehler von einem Tausendstel einer Sekunde (1 μs) würde eine Abweichung von 300 Meter bedeuten. Die mit dem Messfehler behaftete Entfernung wird als Pseudorange bezeichnet.

Abb. 2.02: Kompensation des Zeitfehlers der mobilen Uhr durch Verwendung von zwei Zeitmarkensendern
Abb. 2.02: Kompensation des Zeitfehlers der mobilen Uhr durch Verwendung von zwei Zeitmarkensendern

Um das Problem mit der ungenauen mobilen Uhr zu lösen, müssen wir zwei untereinander synchronisierte Zeitmarkensender verwenden und wir müssen den Abstand der Sender zueinander kennen. Abb. 2.02 zeigt zwei solche Zeitmarkensender deren Atomuhren von einer "Mutteruhr" synchronisiert werden. Beide Sender senden zur gleichen Zeit eine Zeitmarke aus. Da sich unser Auto näher zum Sender 2 befindet, trifft dessen Datenpaket zuerst ein. Der Empfänger berechnet wie zuvor beschrieben die Signallaufzeit (Δt2). Mit dem später eintreffenden Datenpaket von Sender 1 berechnet er (Δt1).
Im Speicher des Empfängers befinden sich die geografischen Positionen der Sender. Hieraus kann der Empfänger die Entfernung (a) zwischen den Sendern berechnen. Die exakte Entfernung (r) ergibt dadurch, dass sich bei einer Berechnung mit

Formel 2: Berechnung der Entfernung mit zwei Zeitmarken
Formel 2: Berechnung der Entfernung mit zwei Zeitmarken

die Messfehler beider Laufzeitmessungen kompensieren. Der Zeitfehler (Δt0) der mobilen Uhr kann mit bestimmt werden:

Formel 3: Berechnung des Zeitfehlers
Formel 3: Berechnung des Zeitfehlers

Wenn sich so mit zwei Zeitmarkensendern eine (eindimensionale) Strecke bestimmen lässt, müssen für eine Positionsbestimmung auf einer (zweidimensionalen) Ebene drei Zeitmarkensender eingesetzt werden. Zur zusätzlichen Bestimmung der Höhe in einem (dreidimensionalen) Raum werden vier Sender benötigt.

2.2. Satellitenbahnen

Mit der Satellitenbahn wird die Position eines Satelliten in Bezug zur Erde beschrieben. Die Bahn (oder der Orbit) eines Satelliten hat einen wesentlichen Einfluss auf seine Anwendung und seine Leistungsmerkmale. Anhand der Parameter der Bahndaten lassen sich mehrere typische Satellitenbahnen unterscheiden.

Orbit Name Beschreibung Bahnhöhe Umlaufzeit Verwendung
GEO Geosynchronous Earth Orbit Geostationäre
Kreisbahn
ca. 36.000 km 23h56min Kommunikationssatelliten, TV-Satelliten
HEO Highly Elliptical Orbit hochelliptische
Umlaufbahn
200-15.000km
50.000-
400.000km
  Weltraumteleskope, Transferbahn für Raumfahrzeuge, die zum Mond oder zum Lagrange-Punkten fliegen
IGSO Inclined Geosynchronous Orbit inklinierte geosynchrone Umlaufbahn ca. 36.000 km 23h56min Geneigte Bahn werden von ehemals geostat. Satelliten verwendet um Treibstoff zu sparen.
Nur mit Antennennachführung empfangbar.
MEO Medium Earth Orbit inklinierte Kreisbahn mittlerer Höhe 2.000-36.000km 5-12 h Globale Kommunikationssatelliten, GPS, Galileo, GLONASS
LEO Low Earth Orbit Kreisbahn niedriger
Höhe
160-2000 km 1-5 h Bemannte Raumfahrt, Raumstationen, Erkundungs- u. Wettersatelliten, astronomische Satelliten (Hubble), Spionagesatelliten
PEO Polar Earth Orbit Leo-Bahn über die Pole 1000 km 100 min Erdbeobachtungssatelliten, Spionagesatelliten, Wettersatelliten, Kommunikationssatelliten (Iridium)
SSO Sun Synchronous Orbit Sonnensynchroner Orbit
Im SSO-Orbit passiert der Satellit einen Punkt auf der Oberfläche immer zur selben Ortszeit.
    Wettersatelliten, Erderkundungssatelliten,
Sonnenbeobachtungssatelliten, Weltraumteleskope
Tabelle 2.01: Typische Satellitenumlaufbahnen

Die für satellitengestützte Positionierung eingesetzten Satelliten benutzen einen kreisförmigen Orbit in mittlerer Höhe (GPS 20200 km, Galileo 23.200 km, GLONASS 19.100 km).

2.2.1. Bahnelemente und wichtige Begriffe

Um die Ebene einer Umlaufbahn im Raum bezogen auf die Ebene der Ekliptik, dann die Lage der Bahnellipse in der Ebene, und die Position des Himmelskörpers auf der Bahn in Abhängigkeit der Zeit beschreiben zu können, benötigt man Bahnelemente. Diese sind durch markante Punkte definiert und erlauben eine präzise Berechnung von Umlaufbahnen von Satelliten, Planeten und Sternsystemen.

Apogäum (Erdferne)

Der Punkt auf einer Satellitenumlaufbahn, der am weitesten vom Erdmittelpunkt entfernt ist. Subtrahiert man von von dieser Entfernung den Erdradius (6378,138 km) ab, erhält man die maximale Höhe der Satellitenbahn über Grund.

Perigäum (Erdnähe)

Der Punkt auf einer Satellitenumlaufbahn, der dem Erdmittelpunkt am nahesten kommt. Subtrahiert man von von dieser Entfernung den Erdradius (6378,138 km) ab, erhält man die Minimalhöhe der Satellitenbahn über der Erdoberfläche.

Abb. 2.03: Astronomische Parameter 1
Abb. 2.03: Astronomische Parameter 1
Exzentrizität

Die Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung der Satellitenumlaufbahn von der Kreisform. Die numerische Exzentrizität einer Kreisbahn ist 0, die einer Ellipse zwischen 0 und kleiner als 1. Zur Berechnung der numerischen Exzentrität ε werden die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) in die Beziehung gebracht:

Formel 4: Numerische Exzentrität
Formel 4: Numerische Exzentrität
Inklination (Bahnneigung)

Die Inklination ist die Neigung der Bahnebene zur Äquatorialebene. Bei einer Inklination von 0° verläuft der Orbit des Satelliten über dem Äquator, bei einer Inklination von 90° über den Polen.

Argument des aufsteigenden Knotens

(Rektaszension des aufsteigenden Knotens oder RAAN (Right Ascension of the Ascending Node)
Die RAAN (Ω) ist der Winkel des aufsteigenden Knotens der Satellitenbahn zum Frühlingspunkt des astronomischen Koordinatensystems, somit also die Schnittstelle zum Bezugssystem der Astronomie. Der Frühlingspunkt ist ein imaginärer Punkt der zur Zeit am Westrand des Sternbildes Fische liegt, er ist definiert als der Punkt an dem die Sonne zu Frühlingsbeginn den Himmelsäquator nach Norden überschreitet.

Argument des Perigäums

Das Argument des Perigäums (ω) legt die Orientierung der großen Halbachse (a) fest. Der Winkel wird zwischen aufsteigendem Knoten und dem Perigäum gemessen.

Epoche

Als Epoche (von griechisch epoché, »Haltepunkt«) wird in der Astronomie ein Zeitpunkt bezeichnet, auf den sich die Angaben von Himmelskoordinaten, Bahnelementen oder Ephemeriden beziehen. Die Epoche kann als ein Moment verstanden werden, in dem ein Schnappschuss des Makrokosmos erstellt wird. Mit dieser Momentaufnahme werden alle relevanten Zahlenwerte festgehalten.

Mittlere Anomalie

Position des Satelliten in der Bahn zum Zeitpunkt des Erscheinens (= Epoche) des Almanachs. Gemessen in Grad ab dem aufsteigenden Knoten.

Ekliptik

Die Ebene, in der die Erdbahnellipse um die Sonne liegt, ist die Ekliptik. Die Ebenen, in denen die Bahnellipsen der übrigen Himmelskörper liegen, sind nicht mit der Ekliptik identisch. Durch die Neigung der Erdachse zur Bahnellipse von 23.44 Grad (= Schiefe der Ekliptik) entstehen unsere Jahreszeiten.

Nutation

Unter Nutation (zu lateinisch nutare "nicken") versteht die Astronomie eine kleine periodische Schwankung der Richtung der Erdachse, die sich dem gleichmäßigen Kegelumlauf der Erdachse, der Präzession, überlagert. Ihre Periodendauer beträgt 18,6 Jahre, und ihre Amplitude ist 9,2" rechtwinklig zur Ekliptik und 6,8" parallel zur Ekliptik.

Präzession

Die Präzession ist die Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Körpers, wenn äußere Kräfte ein Drehmoment auf ihn ausüben. In der Astronomie ist damit die Richtungsänderung der Erdachse gemeint, die eine Folge der Massenanziehung des Mondes und der Sonne in Verbindung mit der Abweichung von der Kugelform ist.
Die Erde hat keine exakte Kugelform, sondern durch die Abplattung des Erdellipsoids von 1:298,25 einen zusätzlichen "Äquatorwulst" von 21 km. Dadurch bewirken die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne ein Drehmoment, welches die Erdachse aufzurichten versucht und zur Auslenkung (Präzession) der Erdachse führt. Für einen vollen Kegelumlauf benötigt die Erdachse ca. 25.700 bis 25.800 Jahre.

Abb. 2.04: Astronomische Parameter 2
Abb. 2.04: Astronomische Parameter 2
Zenit

Der Zenit eines Punktes der Erdoberfläche ist die nach oben verlängerte physikalische Lotrichtung, die Senkrechte auf die Horizontebene. Es ist der Punkt des Himmels, der sich genau über dem Beobachter befindet.

Nadir

(= arab.: Gegenteil) Richtungsangabe für die Lotrichtung. Wird in der Geometrie und Himmelsnavigation als der dem Zenit gegenüberliegende Fußpunkt bezeichnet. Beispielsweise sind die Sendeantennen eines GNSS-Satelliten zum Nadier, in diesem Fall auf einen Punkt auf der Erde direkt unter ihm, gerichtet.

Elevation

(= Erhebung) Als Elevation wird der Erhebungswinkel eines Satelliten über dem Horizont bezeichnet. Als Waagrechte wird die Strecke zwischen einem Beobachtungspunkt und dem Horizont angenommen. Die Elevation bezeichnet den Winkel zwischen 0 und 90 Grad (dem Zenit), um den der Satellit von der Horizontalen abweicht.

Azimut

Der Azimut ist der im Uhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen geografisch-Nord (Nordpol) und einer beliebigen Richtung (z. B. auf der Erdoberfläche oder am Horizont).

Abb. 2.05: Astronomische Parameter 3
Abb. 2.05: Astronomische Parameter 3

2.3. Berechnung von Satellitenbahnen

Welche Bahn ein Satellit nimmt hängt nicht vom Zufall ab, sondern folgt natürlichen Gesetzen, die vom Astronomen und Naturphilosophen Johannes Keppler zuerst beschrieben wurden. Mit Hilfe der drei Keplerschen Gesetze lassen sich die Bahnen nicht nur von Satelliten sondern von ganzen Sternensystemen berechnen. Die aus den keplerschen Gesetzen zu entnehmenden sechs Bahnelemente lassen sich zwei Elementgruppen unterscheiden. Eine Gruppe (Länge der großen Halbachse und die numerische Exzentrizität) beschreibt die Form der Bahnkurve, die Elemente der anderen Gruppe (die Inklination, das Argument des aufsteigenden Knotens und das Argument der Perigäums) beschreiben die Lage der Bahn. Zusammen mit der Epochenangabe sind diese die Grundlage jeder Bahnbestimmung.
Neben diesen grundlegenden Angaben sind eine Unmenge an anderen Faktoren, wie z.B. Schwerkraftanomalien, Eigenschaften der Ionosphäre, Taumelbewegung der Erdachse und Systemparameter/Korrekturwerte für eine präzise Bahnberechnung zu berücksichtigen.

Almanach

Damit ein Navigationsempfänger seine Position berechnen kann, benötigt er zwei Sätze von Daten. Beide Datensätze werden von allen Satelliten ständig abgestrahlt. Der erste Satz Daten, den der Empfänger benötigt, dient zum groben Bestimmen der ungefähren Zeit und Position der vom Standort aus über dem Horizont sichtbaren Satelliten. Dieser Datensatz nennt sich Almanach (Abb. 2.06 , Almanach eines einzelnen GPS-Satelliten) und wird von allen Satelliten für alle Satelliten des Systems alle 12,5 Minuten ausgesendet und ist in der Regel für eine Woche gültig.

Abb. 2.06: Almanach für GPS-Satellit PRN 04 für KW14 2011
Abb. 2.06: Almanach für GPS-Satellit PRN 04 für KW14 2011 [1]

Im Almanach sind folgende Daten enthalten:

****** Almanach Woche 606 für PRN-04 ******
- GPS-Satellit PRN-04 (NAVSTAR 35 (Start 26. Okt 1993))
- Funktionsfähigkeit = voll funktionsfähig
- Exzentrizität der Satellitenbahn
- verstrichene Zeit seit der Gültigkeit der Daten in Sekunden
- Inklination der Bahnebene in Grad
- Argument des aufsteigenden Knotens
- SQRT (A): Bahnradius durch die Quadratwurzel der großen Halbachse (a) dargestellt
- Änderung des Argument des aufsteigenden Knotens in der Woche (Grad)
- Argument des Perigäums (Grad)
- Mittlere  Anomalie (Grad)
- Abweichung der gesendeten Uhrzeit von der GPS-Zeit
- Drift der internen Uhr im Satelliten von der Mutteruhr (in Sekunden pro Sekunde)
- Daten für Woche 606 (seit dem 22. August 1999 gezählt). Woche 606 begann am 3. April 2011.

Ephemeriden

Zur genauen Bestimmung der Satellitenpositionen erhält der Empfänger die vom jeden Satelliten separat gesendeten sogenannten Ephemeriden. Im Gegensatz zum Almanach sind die Ephemeriden nur wenige Stunden (maximal sechs) gültig. In den Ephemeriden sind neben einer genaueren Bahnbeschreibung auch Korrekturdaten zur Berechnung der Laufzeiten und Daten über die Ionosphäre enthalten. Mittels der drei Keplerschen Gesetze können die Positionen der Navigationssatelliten berechnet werden: 

1. Keplersches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Dieses Gesetz gilt auch für Satelliten: Satelliten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren Brennpunkt die Erde steht.

Abb. 2.07: Satelliten bewegen sich in einer Ebene
Abb. 2.07: Satelliten bewegen sich in einer Ebene
2. Keplersches Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener "Fahrstrahl" (Radiusvektor) überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Für Satelliten gilt: Der Radiusvektor zwischen Erde und Satelliten überstreicht in gleichen Zeiten (t1 und t2) gleiche Flächen (A1 und A2). (Unter "Fahrstrahl" versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines Himmelskörpers und dem Gravizentrum um welches er sich bewegt.)

Abb. 2.08: 2. Keplersches Gesetz
Abb. 2.08: 2. Keplersches Gesetz
3. Kepler-Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen.

Formel 5
daraus wird ->


Formel 6

Aus der Kepler-Konstanten kann z.B. mit Hilfe der Gravitationskonstanten und der Erdmasse die Satellitenbahnhöhe (h) über der Erdoberfläche abgeleitet werden.

Formel 7: Berechnung der Bahnhöhe eines Satelliten
Formel 7: Berechnung der Bahnhöhe eines Satelliten

Die Umlaufzeit (T) eines geostationären Satelliten ist 23 Stunden, 56 Minuten und 4,09 Sekunden (= 86.164,09 Sekunden = ein siderischer Tag ("Sternentag")). Das ergibt eine Bahnhöhe (h) von 35786, 035 km. Ein GPS-Satellit soll zweimal am siderischen Tag die Erde umkreisen. Mit einer mittleren Umlaufzeit (T) von somit 11 Stunden 58 Minuten ergibt sich eine Bahnhöhe (h) von 20.184,5 km.

2.4. Kartenbezugssysteme (Geodätisches Datum)

2.4.1. Geoide und Referenzellipsoide

Die im dem Kapitel zuvor beschriebenen Verfahren liefern nur dann exakte Navigationsdaten, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine perfekte Sphäre ist. Aber Berg und Tal, die Gezeiten und die Rotation der Erde (Erdabplattung) lassen die Oberfläche vom Ideal abweichen. Deshalb wurde lange versucht einen mathematisch/geometrischen Körper an die Wirklichkeit anzunähern. Die Oberfläche dieses als Geoid bezeichneten Körpers  repräsentiert die mittlere Meereshöhe dar. Das Potential der Schwerkraft ist an jedem Punkt des Geoid gleich.  Die Feldlinien der Schwerkraft schneiden die Oberfläche des Geoid überall im rechten Winkel.
Aufgrund von unterschiedlicher Masseverteilungen durch die Lage der Kontinente und unterschiedlichen Niveauebenen der Ozeane kann der Geoid nur mit begrenzter Genauigkeit bestimmt werden und seine Form nur angenähert werden. Für Berechnungen ist er nicht geeignet. Daher ist eine einfachere Form notwendig.

Abb. 2.10: Rotationsellipsoid
Abb. 2.10: Rotationsellipsoid

Der der Erdform am nächsten kommende geometrische Körper ist ein Rotationsellipsoid, der durch die Rotation einer Ellipse entsteht. Er ist definiert durch die Länge der großen Halbachse (a) und die kleinen Halbachse (b). Das Maß für die Abplattung (f) (wie sie bei der Erde durch die Fliehkraft entsteht) kann mit [ f = a-b/a ] bestimmt werden.

Abb. 2.11: Angepasste Ellipsoide für unterschiedliche Gebiete der Erde
Abb. 2.11: Angepasste Ellipsoide für unterschiedliche Gebiete der Erde

Da ein Rotationsellipsoid im nahen lokalen Bereich natürlich auch nur eine Annäherung an die wirkliche Erdform sein kann, ist er durch Verfeinerungen angepasst worden. Solche angepassten Rotationsellipsoide werden als Referenzellipsoide bezeichnet. Da diese Referenzellipsoide als Bezugsfläche für Vermessungen (und natürlich auch Navigation) dienen, werden die Halbachsen so angepasst, dass Ellipsoid und Geoid mit dem Gebiet eines Landes möglichst übereinstimmen. Der für Mitteleuropa am besten angepasste Referenzellipsoid ist  der von Friedrich Wilhelm Bessel 1841 durch großräumige Vermessungen abgeleitete Bessel-Ellipsoid (auch "Bessel 1841" genannt). Die Beziehung  zwischen einem lokalen Bezugssystem und einem globalen geozentrischen System (z.B. Bessel 1841) wird als geodätisches Datum bezeichnet. (Bis zum Einsatz der Satellitenvermessungstechniken wurde Bessel 1841 in den meisten europäischen Vermessungsnetzwerken zugrunde gelegt. Bessel 1841 ist der Unterbau für das Gauß-Krüger-Koordinatensystem, auf dem viel Vermessungen und Karten in Deutschland seit 1923 beruhen.

Tabelle 2.02: Nationale Referenzsysteme
Tabelle 2.02: Nationale Referenzsysteme

2.4.2 Weltweites Referenzsystem WGS-84

Lokale Referenzellipsoide wie Bessel 1841 eignen sich natürlich nicht für weltumspannende Positionierungsaufgaben. Dafür wurden weltweite geozentrische Referenzsysteme geschaffen. Bei diesen Systemen ist der Ursprung des Koordinatensystems im Massezentrum der Erde. Das GPS beruht auf dem World-Geodetic-System 1984 (WGS-84) als einheitliche Grundlage für Positionsangaben auf der Erde und im erdnahen Weltraum. Die wesentlichen Parameter des WGS-84 sind:

  • Ein Referenzellipsoid mit Ortsangaben nach geographischer Länge und Breite. Es ist zentriert auf den Schwerpunkt der Erde inklusive Atmosphärenmasse. Die X-Achse liegt auf der Äquatorebene und geht vom Massezentrum aus durch den Schnittpunkt von Äquator und dem Nullmeridian. Die Y-Achse liegt ebenfalls auf der Äquatorebene und steht um 90° östlich versetzt auf der X-Achse. Die Z-Achse hat ihren Ursprung im Massezentrum und geht durch den geografischen Nordpol. Höhenmessungen (Höhe h) werden senkrecht zur Oberfläche des Referenzellipsoiden bezogen.
Abb. 2.12: WGS-84 Referenzellipsoid (j= geogr. Breite, l=geogr. Länge, h=ellipsoidische Höhe)
Abb. 2.12: WGS-84 Referenzellipsoid (j= geogr. Breite, l=geogr. Länge, h=ellipsoidische Höhe)
Parameter Notation Wert
große Halbachse a 6.378.137 Meter
kleine Halbachse b 6.356.752,314 Meter
Abplattung f 1/298,257'223'563
Gravitationskonstante der Erde GM 3.986.004,418*108 m3/s2
Rotationsgeschwindigkeit w 7292115,0*10-11 rad/s
Tabelle 2.03: Parameter des WGS-84 Referenzellipsoid
  • Der Null-Meridian von WGS-84 entspricht dem IERS-(International Earth Rotation and Reference Systems Service) Referenzmeridian. Dieser verläuft 0,31 Bogensekunden (=102,5m) weiter östlich des historischen Null-Meridians an der Sternwarte Greenwich.
  • Das Geoid EGM96 (Earth Gravitational Model 1996) ist eine Bezugsfläche im Schwerefeld der Erde. Durch meist mit Satelliten durchgeführte Messungen des Schwerefeldes der Erde konnten die Abweichungen bestimmt werden. Die Schwerkraftdaten werden für die exakte Berechnung von Höhenangaben (" Koten") benötigt. Die Abweichungen des Geoid zum Referenzellipsoid werden als Undulation bezeichnet.
Abb. 2.13: Undulation des EGM96-Geoids
Abb. 2.13: Undulation des EGM96-Geoids [3]
  • Einem Satz Koordinaten der z.Zt. zwölf Fundamentalstationen (hochpräzise Referenzpunkte auf der Erdoberfläche zum Anpassen des Referenzellipsoiden und des Geoid in bestehende Koordinatensysteme).

Wie der Zusammenhang von Referenzellipsoid, Geoid und der lokalen Begebenheit bei der Höhenmessung mittels GPS gegeben ist, zeigt Abb. 2.14.

Abb. 2.14: Höhenmessung mittels GPS
Abb. 2.14: Höhenmessung mittels GPS

2.4.3. Ebene Koordinaten und Projektionen

Bei der Landesvermessung wird die Lage eines Punktes auf der Erdoberfläche durch die ellipsoidischen Koordinaten φ= geographische Breite und λ=geographische Länge und die Höhe definiert (Abbildungen 2.12 und 2.14). Geodätische Berechnungen (z.B. die Strecke zwischen zwei Punkten) sind aber auf dem Ellipsoid sehr umständlich. Daher wird für die Praxis der Ellipsoid auf einer Ebene abgebildet. Dieses führt zu einem kartesischen Koordinatensystem mit den Achsen X (meist Ost-West) und Y (meist Nord-Süd). Ein Gitterraster erleichtert die Lokalisierung von Punkten. Ein Problem bei dieser Vorgehensweise ist jedoch, dass ein Ellipsoid nicht verzerrungsfrei in einer Ebene abgebildet werden kann. Für die jeweiligen Zwecke angepasste Projektionsverfahren können die Verzerrungen minimieren. Die bekanntesten Projektionsverfahren sind die Mercator-Projektion, die Gauß-Krüger-Projektion und die UTM-Projektion. 

Mercator-Projektion

Gerard De Kremer (1512-1594),  latinisiert Gerardus Mercator, stellte die nach ihm benannte Projektion erstmalig 1569 in Duisburg vor. Die verwendete Projektionsart gehört mit zu den Zylinderprojektionen. Bei dieser Art Projektion werden Karten mit Hilfe eines Zylinders um die Erde projiziert bzw. konstruiert.
Wie die Mercator-Karte konstruiert wird, verdeutlicht Abb. 2.15. Zur Verdeutlichung werden auf einer Kugel drei Kreise eingezeichnet. Der erste Kreis bei 0°, also am Äquator, der zweite und dritte Kreis bei 60°. Wickelt man nun die Kugeloberfläche ab, so entstehen Meridianstreifen dessen Ränder sich am Äquator berühren und zu den Polen hin immer weiter auseinanderlaufen. Skaliert man nun die Flächen so, dass keine Lücken mehr vorhanden sind, wird der Kreis verzerrt. Durch die Dehnung in x-Richtung wird daraus eine Ellipse. Im letzten Schritt wird die Karte nun so gedehnt, dass alle zu Ellipsen verzerrten Kreise wieder zu Kreise werden. Damit nehmen die Abstände zwischen den Breitengraden nach Norden und Süden hin zu. Diese starke Verzerrung führt auch dazu, dass Mercatorkarten nur bis 70° oder 80° Nord oder Süd reichen, die Pole können so nicht dargestellt werden.
Die wichtigste Eigenschaft der Mercatorprojektion ist ihre Winkeltreue. Diese bedeutet auch, dass in kleinen Bereichen der Längenmaßstab in allen Richtungen gleich ist. Jedoch ist er nur entlang der Berührungslinie und ihrer Parallelen konstant. Nur an Berührungslinien ist die Projektion längentreu, d.h. entspricht dem angegebenen Maßstab. Damit ist sie auch nicht flächentreu. Die Verzerrungen werden mit Abstand zur Berührungslinie zunehmend größer und an der Achse der Projektion unendlich. Bei zwei Berührungslinien wird der Bereich zwischen diesen gestaucht.
Die normale Mercator-Abbildung liegt wegen ihrer Winkel- und Achsentreue fast allen Seekarten und einigen Luftfahrtkarten zugrunde. Für großflächige Karten, insbesondere Weltkarten, soweit sie nicht speziell der Kursbestimmung in der Navigation dienen, ist die Mercatorprojektion wegen ihrer mit zunehmendem Abstand von der Berührungslinie stark zunehmenden Verzerrungen ungeeignet.

Abb. 2.15: Prinzip der Mercator-Projektion
Abb. 2.15: Prinzip der Mercator-Projektion
Abb. 2.16: Weltkarte in normaler Mercator-Projektion
Abb. 2.16: Weltkarte in normaler Mercator-Projektion [4]

Für kleinräumige Karten, insbesondere für die Grundkarten sehr vieler Landesvermessungen, findet die transversale Mercatorprojektion in Form von Gauß-Krüger-Projektion, Universaler transversaler Mercatorprojektion (UTM) und ähnlichen in großem Umfang Anwendung.

Gauß-Krüger-Projektion

Auf den zivilen deutschen topografischen Karten wurde bisher das deutsche Gauß-Krüger-Gitter verwendet. Es wurde vom Mathematiker Carl Friedrich Gauß in den Jahren 1827 bis 1860 entwickelt und 1912 von Johann Heinrich Louis Krüger ergänzt. Das System wurde 1927 als amtliche Vermessungsmethode in Deutschland eingeführt. Die Vorteile des Gauß-Krüger-Gitters sind seine Rechtwinkligkeit und die wertgleichen Gitterabstände.

Abb. 2.17: Gauß-Krüger-Projektion
Abb. 2.17: Gauß-Krüger-Projektion

Das Gauß-Krüger-Gitter ist ein metrisches, ebenes und rechtwinkliges Koordinatensystem. Dabei werden Meridianstreifen von drei Grad Breite auf einen quer zur Erdachse liegenden Zylindermantel abgebildet (sog. transversale Mercatorprojektion). Als Bezugssystem dient der  Bessel 1841 Referenzellipsoid mit dem Fundamentalpunkt Rauenberg (sog. Potsdam Datum).
Jeder Meridianstreifen (= Longitudinalzone) erstreckt sich 1°30' östlich und 1°30' westlich seines Mittelmeridians und überlappt mit dem benachbarten System. Als Mittelmeridiane werden nur durch drei teilbare Meridiane (3°E, 6°E, 9°E, ...) verwendet. Darstellungen der Südhalbkugel und der Arktis sind nicht üblich. Die Mittelmeridiane werden mit Kennziffern (1, 2, 3, ...) belegt.  Die Kennziffer erhält man indem man die Gradzahl des verwendeten Mittelmeridian durch 3° teilt. Die Kennziffer, der sog. Rechtswert (R), ist Bestandteil der Koordinate und wird dem Wert der Koordinate vorangestellt.
Die folgenden sechs Ziffern vor einem Komma bezeichnen den Ost-West-Abstand der Position vom Mittelmeridian in Metern. Um keine negativen Werte zu erhalten, wird dem Mittelmeridian ein Offsetwert 500.000 zugeordnet. Positionen östlich des Mittelmeridian sind somit größer als 500.000 und Positionen westlich des Mittelmeridians sind kleiner als 500.000.
Der zweite Wert der Koordinate besteht aus sieben Zahlen und ist der sog. Hochwert (H). Er beschreibt den nördlichen Abstand (in Metern) der Position vom Äquator. Die übliche Notation ist erst Rechtwert, dann Hochwert.

Das folgende Beispiel bezieht sich auf das Potsdam Datum.

Geographische Position des Satkom Towers in Hattingen:
51,414003°N / 7,187923°E = 51° 24' 50,41''/ N 7°11' 16,52''E

Die entsprechenden Koordinaten im Gauß-Krüger-Gitter sind:
R 2.582.684 H 5.698.379
Rechtswert: Die 1. Ziffer (2) ist die Kennziffer des Mittelmeridians (Grad / 3°)
Der Mittelmeridian ist 2 x 3° = 6°
  2. bis 7. Ziffer: Koordinate minus Mittelmeridian-Offset (500.000)
Rechtswert = 82.684 Meter östlich des Mittelmeridians
Hochwert: H 5.698.379 = 5.698.379 Meter nördlich des Äquators

 

Abb. 2.18: Rechtswert und Hochwert
Abb. 2.18: Rechtswert und Hochwert

Im Rahmen der Globalisierung und der damit verbundenen Einführung der satellitengestützten Geodäsie wurde der Einsatz von weltumfassenden Referenzsystemen notwendig. Die deutschen Kartenwerke werden daher z.Zt. auf das UTM-System umgestellt. Trotzdem wird das Gauß-Krüger-Gitter noch eine Weile auf vielen deutschen amtlichen Karten zu finden sein. 

UTM-Projektion

Das UTM- (Universal Transversal Mercator-) Koordinatensystem wurde 1947 von den Streitkräften der USA entwickelt. Im Jahr 1995 hat die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV) beschlossen, das UTM-System in Verbindung mit dem ETRS89 Datum flächendeckend einzuführen. Mit diesem Beschluss besteht für alle Vermessungsverwaltungen in Deutschland die Verpflichtung, auch die Bestandteile des Liegenschaftskatasters in das UTM / ETRS89 zu überführen.

Beim UTM-System wird die Erdoberfläche in 60 Zonen mit jeweils 20 Feldern, also insgesamt 1200 Zonenfelder, aufgeteilt. Die Projektion des Rotationsellipsoids erfolgt wie das Gauß-Krüger-System auf einem quer zur Erdachse liegenden (=transversalen) Zylinder. Für  Vermessungszwecke (in Deutschland) verwendet das UTM-Abbildungssystem das Erdellipsoid des Geodetic Reference System von 1980 (GRS80 - Ellipsoid) als Bezugskörper. Dieses global angepasste Ellipsoid entspricht unter kartographischen Gesichtspunkten dem Erdellipsoid des World Geodetic System von 1984 (WGS84 - Ellipsoid).

Abb. 2.19: UTM-Zonen
Abb. 2.19: UTM-Zonen [5]

Bei der UTM-Projektion wird die gesamte Erde in 60 Meridianstreifen von jeweils 6° abgebildet. Die Abbildung eines Meridianstreifens erstreckt sich zwischen 84° nördlicher Breite und 80° südlicher Breite. Die Polkappen werden über ein eigenes System (UPS = Universal Polar Stereographic) abgebildet.
Der Mittelmeridian des 1. Meridianstreifens liegt auf 177° westlicher Länge von Greenwich. Der Meridianstreifen liegt also zwischen 180° (Datumsgrenze) und 174° westl. Länge von Greenwich. Die Mittelmeridiane für jede Projektionszone sind 3°, 9°, 15°, 21°, usw. östlicher (E) und westlicher (W) Länge.

Abb. 2.20: UTM-Gitter über Deutschland
Abb. 2.20: UTM-Gitter über Deutschland

Jeder Meridianstreifen (= Longitudinalzone) wird durch Breitenkreise in Abständen von 8° unterteilt. Damit entstehen in jeder Zone sog. Breitenbänder mit 8° (Ausnahme: nördlichstes Band mit 12°). Die Breitenbänder werden von Süden (80°S) nach Norden (84°N) mit Buchstaben C bis X bezeichnet. Die Buchstaben I und O werden wegen der Verwechslungsgefahr mit 1 und 0 ausgelassen.
Daraus ergeben sich Bereiche von 6° x 8°, die Zonenfelder genannt werden. Die Bezeichnung erfolgt mit einer Zahl für die Zone und einem Buchstaben für das Breitenband. Der größte Teil Deutschlands liegt im Zonenfeld 32 U.
Jede der 60 Meridianzonen ist (unabhängig von den Zonenfeldern) mit einem Gitter von 100 km Maschenweite eingeteilt. Die Gitterlinien verlaufen dabei parallel zum jeweiligen Mittelmeridian, bzw. dem Äquator.
Die Gitterfelder, auch als Meldegitter bezeichnet, werden durch je zwei Buchstaben gekennzeichnet. Die Kombination setzt sich aus einem Buchstaben für den senkrechten 100 km- Abschnitt und aus einem Buchstaben für den waagrechten 100 km-Abschnitt zusammen.

Der Süd-Nord- Wert der Koordinate einer Position wird, wie bei Gauss-Krüger, als Abstand  vom Äquator in Kilometern gemessen,  wobei auf der Südhalbkugel 10.000.000 m hinzuaddiert werden, um negative Werte zu vermeiden.  Die West-Ost-Werte sind der Abstand vom Mittelmeridian, welcher wie bei Gauß-Krüger den Wert 500'000 m bekommt. Übliche Notation im UTM: Zone, Rechtswert E, Hochwert N oder Zone, Gitter, Rechtswert E, Hochwert N. Bei der zweiten Notation (sog. UTMREF/MGRS) werden die Rechts- und Hochwerte auf die Grenzen des Meldegitters bezogen. (z.B. die Koordinaten des Satkom-Towers in Hattingen bezogen auf WGS-84: 32 373.987 5.697.423 oder 32U LB 73.987 97.423 (UTMREF/MGRS))
Das UTM-Koordinatensystem findet Anwendung bei der deutschen Bundeswehr, beim Katastrophenschutz, der Feuerwehr, dem Rettungsdienst, der Polizei und sonstigen Hilfsorganisationen sowie in der Vermessung.

2.5. Zeitsysteme

Wie in den vorangegangenen Kapiteln schon festgestellt wurde, spielt bei der Navigation die Zeit eine wichtige Rolle. Lässt sich die geographische Breite (Breitengrad -> Nord-Süd-Position) durch Messung von Vertikalwinkeln zwischen der Sonne (Mittagsbesteck) oder einem markanten Fixstern zum Zeitpunkt des Höchststandes (Kulmination) und dem Horizont mittels Jakobsstab oder Sextant bestimmen, so ist eine exakte Bestimmung des Längengrades (Ost-West-Position) nur mit Hilfe einer genauen Zeitmessung möglich. Die Position der Sterne ist abhängig vom Tag, der Uhrzeit und dem Längengrad. Sind Datum und Uhrzeit bekannt, kann der Längengrad aus der Sternenposition heraus bestimmt werden. Kannte man beispielsweise für den Beobachterort den sekundengenauen Kulminationszeitpunkt der Sonne, so könnte man aus dem nautischen Almanach (ein Werk mit nautischen Tabellen) die Beobachterlänge ermitteln. Eine wirklich präzise Navigation auf den Ozeanen wurde daher erst mit der Verfügbarkeit von genauen Chronometern (im 19. Jahrhundert) möglich.

Für moderne Navigationssysteme sind zwei Aspekte der Zeit von besonderer Wichtigkeit: das Zeitintervall, das die Dauer oder Häufigkeit von Ereignissen erfassen lässt und die "absolute" Zeit, die den Zeitpunkt eines Ereignisses beschreibt.
Bis 1967 wurde die Sekunde aus astronomischen Messungen (1/31.556.925,9747 des tropischen Jahres am 31. Dezember 1899 um 12 Uhr) abgeleitet. Mit der Entwicklung von Atomuhren wurde das Zeitintervall als physikalische Konstante definiert. So ist die Dauer der SI-Sekunde (Système International-) definiert durch das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Elements Cäsium 133Cs entsprechenden Strahlung.
Die Fortschreibung einer von Atomuhren gesteuerten absoluten Zeitskala (TAI = Temps Atomique International) wurde am 1. Januar 1958 um 00.00 Uhr begonnen.

Abb. 2.21: Caesium-Atomuhren am US-Naval Observatory
Abb. 2.21: Caesium-Atomuhren am US-Naval Observatory [6]

Um eine praxistaugliche Zeitskala zu erhalten, die sich an der TAI orientiert und gleichzeitig als weltweite Referenzzeit dient, wurde die UTC-Zeit (Universal Time Coordinated = Koordinierte Weltzeit = Greenwich Mean Time = Zulu Time) eingeführt.

Aufbauend auf die UTC werden bei der Satellitennavigation verschiedene Zeiten verwendet:
Die GPS-Zeit wird durch den Zyklus, einer Wochennummer und die Anzahl der Sekunden innerhalb der jeweiligen Woche angegeben. Es werden die Wochen von 0000 bis 1023 inkrementiert. Jede GPS-Woche dauert 604.800 Sekunden und ist intern in 403.200 Epochen á 1,5 Sekunden unterteilt. Der erste Zyklus mit der Woche 0000 startete am 6. Januar 1980. Am 21. August. 1999 24.00 Uhr endete Woche 1023, am 22. August 00.00 startete ein neuer, der Zyklus 2, mit Woche 0000 (sog. Rollover).
Die GPS-Zeit verwendet eine lineare Zeitfortschreibung. Da keine Schaltsekunden eingefügt werden weicht die GPS-Zeit zunehmend von der UTC ab (die Differenz beträgt am 1.Juli 2015 17 Sekunden). Die GPS-Zeit darf nicht mehr als 1 µs von der UTC abweichen.
Die Satellitenzeit ist die mit Gangfehlern behaftete Zeit der in einem Satelliten eingebauten Atomuhr. Die Differenz zwischen der Zeit der Mutteruhr am Boden und der vom Satelliten gesendeten Zeit wird in den vom Satelliten gesendeten Navigationsnachrichten als Korrektursignal mit übertragen.
Die Lokalzeit ist die in einer Zeitzone gültige Zeit. In Deutschland also UTC + 1 Stunde.

 

REFERENZEN

Abbildungen

[1] Abb. 2.06: "Almanach für GPS-Satellit PRN 04 für KW14 2011" Quelle: U.S. COAST GUARD NAVIGATION CENTER
Aktuelle Listen: http://www.navcen.uscg.gov/index.php?pageName=currentAlmanac&format=yuma-txt

[2] Animation "Abb. 2.09: Geoid ...": Quelle: Zusammengesetzt aus Einzelbildern des "Potatoapplets" auf http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/potato/Potato.html; Freigabe durch das gfz-Potzdam

[3] Karte "Abb. 2.13: Undulation des EGM96-Geoids" Lizenz: Public Domain via Wikimedia Commons; Quelle:"Earth_Gravitational_Model_1996.png" by F. G. Lemoine, S. C. Kenyon, J. K. Factor, R.G. Trimmer, N. K. Pavlis, D. S. Chinn, C. M. Cox, S. M. Klosko, S. B. Luthcke, M. H. Torrence, Y. M. Wang, R. G. Williamson, E. C. Pavlis, R. H. Rapp and T. R. Olson, NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland, 20771 USA, July 1998. (http://cddis.nasa.gov/926/egm96/egm96.html);
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AEarth_Gravitational_Model_1996.png

[4] Karte "Abb. 2.16: Weltkarte in normaler Mercator-Projektion": Lizenz: GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html), CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) or CC BY-SA 2.5-2.0-1.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa) via Wikimedia Commons; Quelle: "Normal_Mercator_map_85deg.jpg" by Lars H. Rohwedder (User:RokerHRO) (Own work);
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANormal_Mercator_map_85deg.jpg

[5] Karte "Abb. 2.19: UTM-Zonen": Lizenz: GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version or Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Quelle: "Utm-zones.jpg" http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Utm-zones.jpg

[6] Foto "Abb. 2.21: Caesium-Atomuhren am US-Naval Observatory" Lizenz: Public Domain, Quelle: "Clock Vault" von United States Naval Observatory (USNO ): http://www.usno.navy.mil/USNO/time/master-clock

 

Weblinks

1. Beschreibung des GPS-Interface: www.gps.gov/technical/icwg/ICD-GPS-870A.pdf

2. Aktuelle GPS-Konstellation und Status:
http://www.navcen.uscg.gov/index.php?Do=constellationStatus&srt=PRN&dir=Asc

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